平成21年度 春期 午前 問2

✓ これが正解ア｜α｜が 1 に比べて非常に小さい。

解説

補正の対象そのものが十分に小さいときだけ使えます。

近似計算の考え方は、元の式を展開したときに現れる各項の大きさを比べることに尽きます。元の式を展開すると、1 と n×α のあとに、α の 2 乗、3 乗、と続く項がずらりと並びます。近似の式はこの並びの先頭 2 項だけを残し、後ろをすべて捨てる形です。したがって、捨てた側の項が先頭 2 項に比べて十分に小さいことを保証する条件が必要になります。α を掛け合わせる回数が増えるほど、|α| が 1 に比べて小さいときには急速に値が落ちていくので、後ろの項は無視できるほど細くなります。この条件が満たされているときに限り、先頭 2 項だけで元の値を代表できます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イ｜α｜が n に比べて非常に大きい。：|α| が n に比べて非常に大きい向きを挙げています。この向きでは α のべきが小さくならず、後ろの項が主役に躍り出るので、先頭 2 項だけで代表することはできなくなります。
• ウ｜α÷n｜が 1 より大きい。：|α÷n| が 1 より大きいと述べています。α が n に対して大きい側を許す条件で、α 自身の大きさを 1 に対して小さく抑える保証にはなりません。
• エ｜n×α｜が 1 より大きい。：|n×α| が 1 より大きいと述べています。二番目に残す項の大きさが 1 を超える状況を意味し、そもそも先頭 2 項の中に無視できない大きさの項が混じることになってしまいます。