平成24年度 秋期 午前 問1

✓ これが正解アA̅−B

解説

どちらにも入らない要素の集まりを差集合で書き直します。

設問は、A の補集合と B の補集合が重なる部分に等しい式を選ばせています。決め手は一つで、その集まりを言葉に直すとどうなるかです。A の補集合は A に入らない要素の集まり、B の補集合は B に入らない要素の集まりですから、両方に共通するのは A にも B にも入らない要素だけです。正解の肢は、A の補集合から B に入る要素を取り除いた差集合になっています。A の補集合に居る要素はもともと A に入っていませんから、そこから B に入る要素を抜けば、残るのは A にも B にも入らない要素だけです。同じ集まりを別の書き方で表しているにすぎず、両者はいつでも一致します。ド・モルガンの法則で言えば、和集合の補集合が二つの補集合の共通部分に等しいという側にあたります。もう一本、積集合の補集合が二つの補集合の和集合に等しいという側と取り違えると答えを外します。不安なら要素を置いて確かめるのが確実で、全体集合を 1 から 4 まで、A を 1 と 2、B を 2 と 3 とすると、求める集まりは 4 だけになります。残る三つは、どれも積集合の補集合を書き換えたもので、1 と 3 と 4 の三つを含む同じ集まりに落ち着きます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イ(A̅∪B̅)−(A∩B)：二つの補集合を合わせてから積集合の分を抜く形ですが、合わせた時点で積集合の要素はすでに外れています。抜いても何も減らないので、範囲は広いままです。
• ウ(S−A)∪(S−B)：全体集合から A を除いたものと、全体集合から B を除いたものを合わせた形です。どちらか一方にさえ入っていなければ拾われるので、両方から外れた要素だけには絞り込めません。
• エS−(A∩B)：全体集合から積集合を除いた形で、両方に入る要素だけを外しています。片方だけに入る要素がそのまま残るため、求めたい範囲よりも広くなります。