平成24年度 秋期 午前 問37

✓ これが正解アM の n 乗

解説

同じ文字を再び使え、順番も区別します。

パスワードの総数を数えるときに押さえる前提は二つです。同じ文字を何度使ってもよいこと、そして並ぶ順番が違えば別のパスワードになることです。この二つを同時に満たす数え方はひとつしかありません。一文字目に選べるのは M 通り、二文字目も一文字目に使った文字をもう一度選べるので同じく M 通り、これを n 回くり返しますから、総数は M を n 回掛けたものになります。数式を選ぶ設問では、いちばん小さな値を入れて、手で数え上げたものと突き合わせるのが確実です。文字が二種類、長さが二文字なら、書き出せる並びは四通りしかありません。候補の式にそれぞれ二を入れて、四になるものだけを残せば決まります。四つの式は、数え方の四つの型を並べたものです。同じものを再び使えるかどうかと、並ぶ順番を区別するかどうかという二つの軸で分かれていますから、どの式がどの型なのかを言えるようにしておくと、この形の設問は一度で片が付きます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イM！／(M－n)！：M の階乗を M から n を引いた数の階乗で割る式で、同じものを二度使えない順列にあたります。文字が二種類で二文字なら二通りとなり、同じ文字が並ぶ二つを数え落とします。
• ウM！／( n！×(M－n)！ )：分母に n の階乗も掛ける式で、並ぶ順番を区別しない組合せにあたります。文字が二種類で二文字なら一通りにしかならず、順番違いの二つも同じ文字が並ぶ二つも落ちます。
• エ(M＋n－1)！／( n！×(M－1)！…：再使用を許しつつ並ぶ順番は区別しない数え方の式です。文字が二種類で二文字なら三通りとなり、実際に書き出せる四通りに足りません。パスワードで順番を無視することはありません。