平成25年度 秋期 午前 問4

✓ これが正解エ((P→Q̄) ∨ (Q→P̄)) → (Q→R)

解説

前提が偽になる式は、結論を見なくても必ず真になります。

設問は、P と Q がどちらも真であるとき、R の真偽にかかわらず全体が真になる式を選ばせています。見る軸は一つで、いちばん外側の含意の前提が偽になるかどうかです。設問が与えている定めによれば、含意は前提が真で結論が偽のときだけ偽になります。裏を返すと、前提が偽であれば結論が何であっても全体は真です。R は結論の側にしか現れませんから、前提を偽にできた式だけが R に左右されなくなります。そこで P と Q に真を入れて、外側の含意の前提を計算します。正解の式の前提は、二つの含意を論理和で結んだ形で、どちらの含意も真から偽へ向かう形になるため、ともに偽です。偽どうしの論理和は偽ですから、前提は偽と決まり、結論を見るまでもなく全体は真になります。念のため R に真と偽の両方を入れても、どちらの場合も全体は真のままで、設問の条件を満たします。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア((P→Q) ∧ (Q→P)) → (R…：二つの含意を論理積で結んだ部分は、P と Q がともに真のときどちらも成り立つので真になります。すると結論の側を確かめる必要が生じ、R を真にすると結論が偽になって全体が偽に落ちます。
• イ((P→Q) ∧ ‾(Q→P̄)) → …：否定の上線が内側と外側の二段に掛かっている点を読み違えやすい式です。内側まで数えると否定の対象が偽なのでその否定は真となり、左側も真なので全体の前提は真、R を偽にすれば落ちます。
• ウ((P→Q̄) ∨ (Q→P)) → (…：論理和で結ばれた片方が成り立つため、前提は真になります。前提が真だと結論の側が効いてくるので、R を真に選ぶと結論が偽となり、条件に反して全体が偽になる場合が残ります。