平成27年度 秋期 午前 問2

✓ これが正解エ(A̅∩B̅) ⊆ C

解説

和集合の補集合が空なら、三つで全体を覆っています。

まず条件を読み替えます。三つを合わせた和集合の補集合が空集合であるとは、どの集合にも属さない要素が一つも無いということです。言い換えると、三つを合わせたものが全体集合になっています。ここから包含関係を導きます。ある要素が A に属さず、B にも属さないとしましょう。その要素も全体集合の中にいる以上、残された行き先は C しかありません。したがって、A の補集合と B の補集合の共通部分は、C の部分集合になります。ド・モルガンの法則を使えば同じ結論が機械的に出ます。和集合の補集合は、それぞれの補集合の共通部分に等しいので、三つの補集合をすべて満たす要素が無いと分かります。すると A の補集合と B の補集合の両方に属する要素は、C の補集合には入れず、必ず C の側に落ちます。四つの候補は A と B に否定が付くかどうかの組合せで、両方に付く形だけが条件から導けます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア(A∩B) ⊆ C：A にも B にも属する要素は、その時点で全体を覆う条件を満たしてしまうため、C に入る保証がありません。全体集合を 1 だけとし、A と B をともに 1、C を空とすると条件は成り立ちますが、この包含は崩れます。
• イ(A∩B̅) ⊆ C：A に属して B に属さない要素は、A が覆っている時点で条件を満たすので、C まで行く必要がありません。全体集合を 1 と 2 とし、A を 1、B を 2、C を空とすると、条件は成り立つのにこの包含は破れます。
• ウ(A̅∩B) ⊆ C：否定の付き方が片方だけで、B に属して A に属さない要素を C に押し込む形です。全体集合を 1 と 2 とし、A を 1、B を 2、C を空とした置き方では、2 が C に入らないので成り立ちません。