平成27年度 春期 午前 問6

✓ これが正解ウ正方形内に乱数を用いて多数の点を一様に打ち，円の中にある点の個数によって求める。

解説

乱数で点をばらまき、円に入った割合から面積を出します。

設問は、正方形に内接する円の面積をモンテカルロ法で近似する方法を選ばせています。この方法の目印は一語で決まります。乱数を使うかどうかです。一辺が二の正方形の面積は四で、そこに内接する半径一の円の面積は円周率にあたります。正方形の中に一様に点をばらまくと、円の中に落ちる点の割合は、面積の比に近づいていきます。したがって、円の中の点の数を全部の点の数で割り、四を掛ければ円周率の近似値が得られます。打つ点を増やすほど真の値に近づきますが、誤差は点の数の平方根に反比例するので、精度の桁を一つ上げるには点を百倍打つ必要があります。方法の名前を問う設問で見るのは、よい近似になるかどうかではありません。その方法だけが持っている道具は何か、です。ここではそれが乱数にあたります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア円に内接する正多角形の面積によって求める…：角の数を増やしながら多角形の面積を求めていく、手順の決まった計算です。近似のやり方としては昔から知られていますが、偶然に任せる仕掛けをまったく使いません。
• イ正方形内に多数の小円を重ならないようにぎ…：ぎっしり詰めても必ずすき間が残り、そのぶんを数え落とします。点の割合のように面積の比へ近づいていかないうえ、偶然に任せる仕掛けも使わないので、二重に外れます。
• エ正方形内を微細な間隔の格子点で区切り，円…：等間隔に区切って数えていく手順で、結果としてはよい近似になります。それでも、打つ場所を偶然に委ねていない点で、設問が名指している方法とは別の計算です。