平成30年度 秋期 午前 問3

✓ これが正解イB

解説

90点までの距離が標準偏差で最も近いのはBです。

四つの教科のうち、90点以上を取った人が最も多かったと推定できるのはどれか、という問いです。得点分布はいずれも正規分布に従うと書かれていますから、比べるための物差しをそろえられます。使うのは、90点が平均点から標準偏差いくつ分だけ離れているか、という値です。正規分布はこの値さえ同じなら、そこから上にいる人の割合も同じになりますので、平均点の高さや標準偏差の大きさをばらばらに見比べる必要がなくなります。四教科ぶん計算します。平均45点で標準偏差18なら45を18で割って2.5、平均60点で標準偏差15なら30を15で割って2.0、平均70点で標準偏差8なら20を8で割って2.5、平均75点で標準偏差5なら15を5で割って3.0です。離れ具合が小さいほど90点は山の中心に近く、そこから上に残る人は多くなりますから、最も小さい2.0となった教科Bが答えです。割合の目安でも確かめられます。離れ具合が2.0ならおよそ2.3パーセント、2.5ならおよそ0.6パーセント、3.0ならおよそ0.13パーセントで、1,000人に直すとおよそ23人、6人、1人です。受験者数は四教科で共通ですから、順位はこの割合だけで決まります。見分けの軸は、平均点と標準偏差のどちらか一方だけを見ないことです。確率分布をそろえてからでないと、二つの数は比べられません。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アA：標準偏差が18と四教科で最も大きく、上位に裾が広がっているように見えます。ところが平均点が45点しかないため90点までの距離が45点もあり、標準偏差で割ると2.5になって、上に残る人はかえって少なくなります。
• ウC：平均点は70点と高めですが標準偏差が8と小さく、90点までの20点を8で割ると2.5になります。これは平均45点の教科と同じ値で、2.0には届きません。平均点の高さだけでは上位の人数は決まりません。
• エD：平均点が75点と四教科で最も高いので、平均だけを見ると選びたくなります。しかし標準偏差が5と小さく得点が中心に集まっているため、90点までの15点は標準偏差3.0個ぶんとなり、届く人は最も少なくなります。