平成21年度 秋期 午前Ⅱ 問22

✓ これが正解イ10

解説

nを大きくすると、性能Pは1/a＝10に近づきます。

式 P＝n／(1＋(n−1)a) で n を限りなく大きくしたときの値を考えます。分母と分子を n で割ると、P＝1／(1／n＋a−a／n) となります。n が大きくなるにつれて 1／n と a／n はどちらも 0 に近づくので、P は 1／a に近づきます。a＝0.1 なら上限は 1／0.1＝10 で、正解の値と一致します。実際に n＝4 では 4／1.3≒3.1、n＝9 では 9／1.8＝5、n＝100 では 100／10.9≒9.2 と、n を増やしても 10 には届きません。CPU を増やすほど一台当たりのオーバヘッドが積み重なり、性能の伸びが頭打ちになる、というマルチプロセッサの考え方を式で確かめる問です。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア5：5 は、CPU を9台にしたときの性能です（9／(1＋8×0.1)＝9／1.8＝5）。n をさらに増やせば性能はまだ伸び、n＝100 では約9.2 になるので、5 は上限ではありません。
• ウ15：15 は、上限の 10 を超えています。この式では n をどれだけ大きくしても P は 1／0.1＝10 に届かないので、15 という性能にはなりません。この式の a＝0.1 からは導けない値です。
• エ20：20 は 1／a の2倍で、上限の 10 を大きく超えています。P＝n／(1＋0.1(n−1)) は常に 10 より小さく、20 には到達しません。この式と a＝0.1 からは導けない値です。