令和4年度 春期 午前Ⅱ 問4

✓ これが正解アMⁿ

解説

各文字を M 通りから重複ありで選んで並べるので、M の n 乗です。

パスワードの各文字は、使える M 種類の文字から選べます。同じ文字を何度使ってもよく、1 文字目と 2 文字目の選び方は互いに影響しません。したがって 1 文字目が M 通り、2 文字目も M 通りと続き、n 文字分を掛け合わせて M×M×…×M、つまり M の n 乗通りになります。これを重複順列と呼びます。たとえば数字 10 種類で 4 文字なら、10 の 4 乗で 10,000 通りです。また、パスワードは文字の並び順が変われば別物として扱うので、順序を区別する数え方を選ぶ必要があります。確かめる点は、同じ文字を繰り返せるかと、順序を区別するかの 2 つです。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イM! ／ (M－n)!：M!／(M－n)! は、同じ文字を 2 度使えない場合の順列の数です。パスワードでは同じ文字を繰り返し使えるので、この式では数えられる総数が実際より少なくなります。
• ウM! ／ {n! (M－n)!}：M!／{n!(M－n)!} は、重複なしで順序を問わない組合せの数です。文字の繰返しを認めないうえに並び順の違いも同じとみなすため、パスワードの数え方に合いません。
• エ(M＋n－1)! ／ {n! (M－1)…：(M＋n－1)!／{n!(M－1)!} は、重複を許して順序を問わない重複組合せの数です。繰返しは認めても並び順の違いを区別しないので、順序に意味があるパスワードには合いません。