令和4年度 春期 午前Ⅱ 問22
システム構成要素
指数分布に関する問題
故障発生率が 1.0×10^−6 回／秒である機器 10,000 台が稼働している。330 時間経過後に，故障していない機器の台数はおよそ何台か。ここで，故障発生率は経過時間によらず一定で，故障した機器は修理しない。また，必要であれば，故障発生率をラムダ回／秒，稼働時間を t 秒とする次の指数関数のグラフから値を読み取って，計算に使用してよい。
指数関数 F(t)＝exp(−ラムダt) のグラフ:
- 縦軸 F(t)：0〜1.0（0.1 刻みの破線の目盛，0.5 と 1.0 に数値）
- 横軸 ラムダt：0〜3.5（0.5 刻みの破線の目盛，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5 に数値）
- 曲線は (0，1.0) から右下がりに減少し，およそ ラムダt＝0.5 で 0.6，1.0 で 0.37，1.5 で 0.22，2.0 で 0.14，2.5 で 0.08，3.0 で 0.05，3.5 で 0.03 を通る
- ア3,000
- イ5,000
- ウ7,000
- エ9,000
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✓ これが正解ア3,000
解説
ラムダt はおよそ1.19で、残る割合は約0.3、約3,000台です。
故障発生率が一定のとき、t 秒後に故障していない機器の割合は F(t)＝exp(−ラムダt) で表されます。まず時間の単位を秒にそろえます。330 時間は 330×3,600＝1,188,000 秒なので、ラムダt＝1.0×10^−6×1,188,000＝1.188 です。グラフでは、ラムダt が 1.0 のとき約 0.37、1.5 のとき約 0.22 なので、1.188 ではおよそ 0.3 と読めます（計算すると exp(−1.188) は約 0.305）。故障していない台数は 10,000×0.3＝約 3,000 台です。時間の単位を故障発生率の単位にそろえてから ラムダt を求めることが要です。これは故障の発生が指数分布に従うという考え方に基づく計算です。
ほかの選択肢はなぜ違うのか
- イ5,000：残る割合が 0.5 になるのは ラムダt がおよそ 0.69 のときで、時間に直すと約 190 時間です。330 時間では ラムダt が 1.188 まで進むので、半分よりさらに少ない台数しか残りません。
- ウ7,000：残る割合 0.7 に対応する ラムダt はおよそ 0.36 で、約 100 時間の時点の値です。330 時間を秒に直した 1,188,000 秒を使うと割合は 0.3 程度まで下がるので、この台数にはなりません。
- エ9,000：残る割合 0.9 は ラムダt がおよそ 0.1、つまり約 29 時間の時点の値です。330 時間経過後には故障がずっと多く進んでおり、9 割が残るという結果は設問の条件から導けません。
出典：令和4年度 春期 ITサービスマネージャ試験 午前Ⅱ 問22
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