平成22年度 春期 午前 問4
基礎理論
連立一次方程式に関する問題
連立一次方程式から，x の項の係数，y の項の係数，及び定数項だけを取り出した表（行列）を作り，基本操作 (1) 〜 (3) のいずれかを順次施すことによって，解が得られた。表（行列）が次のように左から右に推移する場合，同じ種類の基本操作が施された箇所の組合せはどれか。
〔連立一次方程式と解〕
連立一次方程式 2x ＋ 3y ＝ 4
5x ＋ 6y ＝ 7
得られた解 x ＝ −1
y ＝ 2
〔基本操作〕
(1) ある行に 0 でない数を掛ける。 (2) ある行とほかの行を入れ替える。 (3) ある行にほかの行の定数倍を加える。
〔表（行列）の推移〕
2 3 4 a 2 3 4 b 1 0 −1 c 1 0 −1 d 1 0 −1 5 6 7 ──▶ 1 0 −1 ──▶ 2 3 4 ──▶ 0 3 6 ──▶ 0 1 2
- アa と b
- イa と c
- ウb と c
- エb と d
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✓ これが正解イa と c
解説
ほかの行を足した a と c が同じ種類です。
この問いは、五つの表をつないでいる四つの矢印を、基本操作の三種類のどれに当たるかへ 1 本ずつ仕分ければ決まります。手順は 2 段で、まず矢印の前後を見比べて変わった行を押さえ、次にその行が自分の行だけで作れるのか、それともほかの行を使ったのかを確かめます。自分の行に 0 でない数を掛けただけなら 1 番目、二つの行をそっくり入れ替えていれば 2 番目、ほかの行の定数倍を加えていれば 3 番目です。正解は a と c の組で、どちらも相手の行の 2 倍を自分の行から引いた形になっています。a では 5 6 7 から 2 3 4 の 2 倍を引いて 1 0 −1 に変わり、c では 2 3 4 から 1 0 −1 の 2 倍を引いて 0 3 6 に変わっていて、いずれも相手の行を材料にしているので同じ種類です。最後の表を連立一次方程式に戻すと x が −1、y が 2 となり、設問が示した解と一致します。この四手はガウスの掃出し法そのもので、行列に対する操作を順に施して解へ近づけていきます。
ほかの選択肢はなぜ違うのか
- アa と b：b の矢印では上下二つの行がそっくり入れ替わっており、これは入替えの操作に当たります。a は相手の行を材料にした足し算なので、二つの矢印の種類がそろわず、同じ組にはなりません。
- ウb と c：b は入替え、c は相手の行を材料にした足し算で、二つの矢印は別の種類です。片方だけが行を入れ替える操作になっているため、同じ種類が施された箇所の組合せという条件を満たしません。
- エb と d：b は入替え、d は 0 3 6 の行を 3 で割って 0 1 2 にした操作で、d は自分の行だけで完結しています。三種類のうち互いに別の番号に当たるので、二つを組にすることができません。
出典：平成22年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問4
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