令和6年度 秋期 午前Ⅱ 問19

✓ これが正解エ9

解説

95^n＞10^16 を満たす最小の n は9で、9桁が必要です。

変更前のパスワードは数字16桁なので、総数は 10^16 通りです。変更後は95種類の文字を n 桁並べるので、95^n 通りになります。95^n＞10^16 となる最小の n を求めます。両辺の常用対数を取ると n×log_10 95＞16 で、log_10 95＝1.98 なので n×1.98＞16、n＞16÷1.98＝8.08… となります。n は整数なので、最小は9です。確かめると、8桁では 8×1.98＝15.84 で16に届かず、9桁では 9×1.98＝17.82 で16を超えます。見分ける軸は、総数の比較を対数の比較に直すことです。文字の種類を桁数だけ掛け合わせた数が総数になる、というのは場合の数の考え方で、指数の比較は対数で行うと覚えておきましょう。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア6：6桁の場合、6×1.98＝11.88 なので総数は約 10^11.88 通りです。変更前の 10^16 通りに比べてかなり少なく、総数を多くするという条件を満たしません。
• イ7：7桁の場合、7×1.98＝13.86 なので総数は約 10^13.86 通りです。変更前の 10^16 通りにはまだ届かず、総数を多くするという条件を満たしません。
• ウ8：8桁の場合、8×1.98＝15.84 なので総数は約 10^15.84 通りです。16にわずかに届かず、変更前の 10^16 通りより少ないので、条件を満たすにはもう1桁必要です。