平成30年度 秋期 午前Ⅱ 問23

✓ これが正解イ10

解説

nを限りなく大きくするとPは1/aに近づくので、上限は10です。

P＝n／(1＋(n−1)a)で、nを大きくしたときの上限を考えます。分子と分母をnで割ると、P＝1／(1/n＋(1−1/n)a)と書き換えられます。nを限りなく大きくすると1/nは0に近づくので、分母はaに近づき、Pは1/aに近づきます。a＝0.1なら、上限は1÷0.1＝10です。設問の例のa＝0.1、n＝4では4÷1.3≒3.08となり、確かに約3です。台数を増やすほどオーバヘッドの分だけ伸びが鈍り、Pは10に近づくだけでそれを超えません。式の分母でnに掛かる係数がaなので上限は1/aになる、と式の形で覚えておくと計算を省けます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア5：5は、1/aの半分の値で、nをどれだけ大きくしても上限としては出てきません。たとえばn＝10ではP＝10÷1.9≒5.3となり、すでに5を超えています。
• ウ15：15は、上限の10を超える値です。nを大きくしてもPは10に近づくだけで15には達しないので、この条件から導ける上限ではありません。
• エ20：20は、1/aの2倍にあたる値で、上限の10を大きく超えています。Pは10に近づくだけなので、どれだけCPUを増やしても20には届きません。