平成25年度 秋期 午前Ⅱ 問19

✓ これが正解イ10

解説

nを大きくするとPは1／aに近づき、a＝0.1なら上限は10です。

式P＝n／(1＋(n−1)a)の分母と分子をnで割ると、P＝1／(1／n＋a−a／n)になります。nを限りなく大きくすると、1／nとa／nはどちらも0に近づくので、Pは1／aに近づきます。a＝0.1なら1／0.1＝10です。実際に計算すると、n＝4で約3.1、n＝10で約5.3、n＝20で約6.9、n＝100で約9.2と増え続けますが、10を超えることはありません。CPUを増やすほど台数に比例して増えるオーバヘッドが効いてきて、性能の伸びが頭打ちになるということです。上限はオーバヘッドを表す定数の逆数、と押さえておくと素早く解けます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア5：Pは5で止まりません。n＝10のときすでに約5.3となって5を超え、n＝20では約6.9まで伸びます。5はnを増やしていく途中で通り過ぎる値で、nを増やし続けたときの限界ではありません。
• ウ15：Pは1／a、つまり10より大きくなることがありません。n＝100でも約9.2にとどまり、15に届くnは存在しないので、上限としては大きすぎます。
• エ20：20に届くには、オーバヘッドがなく台数に比例して性能が伸びる必要があります。a＝0.1ではPは常に10未満にとどまるので、どれだけCPUを増やしても20には到達しません。