平成23年度 秋期 午前Ⅱ 問22

✓ これが正解エ2^n

解説

各属性を含めるか含めないかの2通りずつで、射影は2のn乗個です。

射影は、関係からいくつかの属性を選び出して新しい関係を作る演算です。次数nの関係にはn個の属性があるので、射影の種類は、属性の選び方、つまりn個の属性の部分集合の数だけあります。見分ける軸は、それぞれの属性を選ぶか選ばないかを独立に決められる点です。1つの属性について選ぶ・選ばないの2通りがあり、それがn個あるので、2×2×…×2＝2のn乗通りになります。属性を一つも選ばない場合と、全部を選ぶ場合もこれに含まれます。たとえばn＝3なら、2の3乗＝8通りです。部分集合の数は2のn乗、と覚えておくと素早く答えられます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アn：n個は、属性をちょうど1つだけ選ぶ射影の数です。2つ以上の属性を選ぶ射影や、属性を一つも選ばない場合を数えていないので、すべての射影の数にはなりません。n＝3なら3で、8通りに届きません。
• イ2n：2n個は、属性の選び方を数える筋道からは出てきません。n＝3の例で全部を数えると8通りなのに対し、2nは6になり一致しません。n＝1と2のときだけは、たまたま2のn乗と同じ値になります。
• ウn^2：nの2乗個は、属性の部分集合を数える式ではありません。n＝3の例では9になり、実際の8通りと合いません。nの値によってたまたま一致することはあっても、射影の数を表す式にはなりません。