令和3年度 秋期 午前 問2

✓ これが正解エ2ρ ÷ (1 − 2ρ) × Ts

解説

利用率が式の分母と分子の両方で 2 倍になる形です。

設問は、二つの支店の窓口機を一つに統合したときの平均待ち時間の式を選ばせています。ですから見分けの軸は、統合で変わるのが利用率のほうか平均サービス時間のほうか、そして式のどの位置に置き換わるか、という二点だけです。統合後は利用者が両支店の合計になり、平均サービス時間は変わらないので、単位時間に到着する利用者が二倍となり、その結果として利用率も二倍になります。M/M/1 の平均待ち時間は、利用率を分子に置き、一から利用率を引いた値を分母に置いた比に、平均サービス時間を掛けた形をとります。分子側と分母側の両方に登場する利用率は同じ量ですから、そこは同じ二倍を当ててそろえて書き換えます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アρ ÷ (1 − ρ) × Ts：統合前の一台のときの式そのものです。利用率が二倍になる書き換えを行っておらず、統合で利用者数が合計されるという条件を式に反映していません。
• イρ ÷ (1 − 2ρ) × Ts：分母側だけを二倍にした形です。分子に置く利用率もまた二倍になるべきですが、そこは統合前のままに残しており、同じ量である利用率を式の中で二通りに扱っています。
• ウ2ρ ÷ (1 − ρ) × Ts：分子側だけを二倍にした形です。分母側の利用率も同じ量ですから同じ二倍を当てるべきですが、そこを統合前のままに残しており、片側だけの書き換えになっています。