平成23年度 秋期 午前Ⅱ 問21

✓ これが正解エ2^n

解説

各属性を含めるか含めないかの2通りで、射影は2のn乗個です。

射影は、関係から一部の属性だけを取り出す演算です。どの属性を取り出すかは、n個の属性それぞれについて、含めるか含めないかの2通りを選ぶことで決まります。n個の選択は互いに独立なので、組合せの数は2をn回掛けた2のn乗です。この中には、どの属性も含めない場合が1通りあり、設問が数に入れるとしている属性なしの射影がこれに当たります。全ての属性を含める場合も1通り入ります。例えばn＝3なら、属性なし1通り、1個が3通り、2個が3通り、3個全部が1通りで、合計8＝2の3乗になります。属性の部分集合を数える問題だと見抜けば、式はすぐに決まります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アn：n個は、属性を一つだけ取り出す射影の数にすぎません。二つ以上の属性を組み合わせる射影や、属性なしの射影、全ての属性を取り出す射影が数に入っていないので、総数より少なくなります。
• イ2n：2n は、属性ごとに含める・含めないの2通りがあることを、掛けずに足し合わせた数え方です。選択は属性ごとに独立なので、場合の数は足し算ではなく掛け算で求めます。n＝3なら6となり、実際の8と合いません。
• ウn^2：n の2乗は、属性の選び方から射影の数を数える手順のどこからも出てこない式です。n＝3なら9となり、属性なしから全属性までを数え上げた8とも一致しません。