平成30年度 秋期 午前Ⅱ 問19

✓ これが正解イ10

解説

n を増やすと P は 1/a に近づき、上限は 10 です。

式 P＝n／(1＋(n−1)a) の分母と分子を n で割ると、P＝1／(1／n＋(1−1／n)a) と書き直せます。n を大きくすると 1／n は 0 に近づくので、分母は a に近づき、P は 1／a に近づきます。a＝0.1 なら上限は 1／0.1＝10 です。確かめに n＝100 を入れると、P＝100／(1＋99×0.1)＝100／10.9≒9.17 で、10 に届かないまま近づいていくことが分かります。台数を増やすほどオーバヘッドが積み重なるため、マルチプロセッサの性能には頭打ちが生じます。見分けるときは、n を限りなく大きくしたときに残る項だけを見ると、上限が 1／a になると分かります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア5：5 は上限になりません。a＝0.1 で n＝9 のとき P＝9／(1＋8×0.1)＝9／1.8＝5 となり、n＝10 では P＝10／1.9≒5.26 と 5 を超えます。台数を増やせば、まだ性能は伸びます。
• ウ15：a＝0.1 では P＝n／(0.9＋0.1n) と書け、分母は常に 0.1n より大きいので、P は常に 10 より小さくなります。どれだけ台数を増やしても 15 には届かないので、上限にはなりません。
• エ20：分母の 0.9＋0.1n は常に 0.1n より大きく、P は 10 未満にとどまるので、20 に達することはありません。上限を 1／a より大きく見積もった値で、この式からは導けません。