平成21年度 春期 午前 問16

✓ これが正解エ常に B の稼働率が高い。

解説

差を式で整理すると常に正で、片方が上回ります。

直列と並列の稼働率は、それぞれ簡単な式で書けます。直列は各要素の稼働率の積、並列はすべてが同時に壊れる確率を差し引く形で、1 から各要素の非稼働率の積を引いた式で書けます。この規則で 2 つのシステムを式にすると、片方は Z の稼働率を全体に掛ける形になり、もう片方は Y と、X と Z の直列との並列になります。両者を展開して差を取り、共通する項を消していくと、残るのは Y の稼働率に、1 から Z の稼働率を引いたものを掛けた項です。各要素の稼働率はいずれもゼロより大きく 1 より小さいので、この項は必ず正の値になります。したがって、両システムの稼働率の大小は入れ替わることがなく、後者のほうが常に高い、と結論できます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア各装置の稼働率の値によって，A と B …：装置の稼働率の値によって、両システムの稼働率の高低が入れ替わると述べています。両者の差を式で書き下すと常に正の値になり、値の組合せで向きが変わる余地はありません。
• イ常に A と B の稼働率は等しい。：2 つのシステムの稼働率が常に等しいと述べています。差を整理した式は、稼働率がゼロの装置がない限り正の値にとどまるので、等号が成り立つ場面は与件から除かれています。
• ウ常に A の稼働率が高い。：前者のシステムの稼働率が常に高いと述べています。実際に差を取ると、前者から後者を引いた符号は負の側になるため、大小の向きが逆になっています。